انحراف معیار رولت
انحراف معیار در رولت، یعنی جذر واریانسریاضیواریانسسنجشی از میزان پراکندگی نتایج پیرامون ارزش مورد انتظار. برای تک‌عدد زیاد و برای شرط‌های پول‌برابر کم است.خواندن کامل ←، فاصله معمول میان یک نتیجه و مقدار مورد انتظار آن است.
به ازای هر $1 مبلغ شرط، σ برای تک‌عدد 5.84 و برای قرمز 1.00 است. برای یک جلسه، آن را در مبلغ شرط و در جذر تعداد چرخش‌ها ضرب کنید.
قاعده سرانگشتی
حدود دو سوم جلسه‌ها در فاصله یک σ از مقدار مورد انتظار قرار می‌گیرند و 95% در فاصله دو برابر آن. برای 100 چرخش قرمزشرطقرمزشرط پول‌برابر روی 18 شماره قرمز. فرانسوی: rouge.خواندن کامل ← با $10 (مورد انتظار −$27، σ = $100)، بیشتر جلسه‌ها بین −$127 و +$73 و تقریباً همه بین −$227 و +$173 می‌افتند. نتیجه‌ای بیرون از این بازه گواه هیچ چیز نیست جز اینکه از هر بیست جلسه یکی چنین میشود.
چرا √N
زیان مورد انتظارریاضیزیان مورد انتظارارزش مورد انتظار ضربدر کل مبلغ شرط‌بندی‌شده؛ میانگین مبلغ باخته‌شده در یک جلسه یا دوره.خواندن کامل ← متناسب با N رشد می‌کند؛ پراکندگی متناسب با √N. برای N کوچک پراکندگی غالب است و جلسه‌ها شیر یا خطی‌اند با کمی کجی. برای N بزرگ زیان از پراکندگی جلو می‌زند. نقطه تقاطع، جایی که زیان مورد انتظار با یک انحراف معیارریاضیانحراف معیارریشه دوم واریانس؛ فاصله معمول یک نتیجه از ارزش مورد انتظار.خواندن کامل ← برابر میشود، در N = (σ/برتری)² = (1/0.027)² ≈ 1,370 چرخش برای پول‌برابر و (5.84/0.027)² ≈ 46,800 برای تک‌عددهاشرطتک‌عددیک شماره، با پرداخت 35:1.خواندن کامل ← است. زیر این اعداد شانس تصمیم می‌گیرد؛ بالای آن‌ها برتری کازینو.
کاربرد آن
برای اینکه بسنجید جلسهای غیرعادی بوده یا نه، (نتیجه − EV)/σ را حساب کنید. شرط‌بند قرمز با $10 که 100 چرخش را با +$150 تمام می‌کند، در (150 + 27)/100 = 1.77σ است، نتیجه‌ای یک در 25: خوششانس، نه چشمگیر. شرط‌بند تک‌عدد با همان +$150 در 0.3σ است: شبی معمولی. یک نتیجه دلاری یکسان روی شرط‌های مختلف معناهای مختلفی دارد.
خطای معیار یک نسبت
همین حساب به شما می‌گوید چند چرخش لازم است تا برتری کازینو در داده‌ها دیده شود. خطای معیار نسبت برد مشاهده‌شده √(p(1 − p)/N) است. برای قرمز با N = 1,000: √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%. فاصله میان یک سکه منصفانه و قرمز 1.35% است، پس پس از 1,000 چرخش هنوز نمی‌توانید با اطمینان آن دو را از هم تشخیص دهید. پس از 10,000 چرخش خطای معیار 0.5% است و می‌توانید. به همین دلیل تشخیص سوگیری چرخ هم این‌همه چرخش لازم دارد.
هشداری درباره چولگی
نتایج تک‌عدد در یک جلسه کوتاه از توزیع نرمال بسیار دورند: بیشتر جلسه‌ها کاهشی یکنواخت با −$10 در هر چرخش‌اند که گاه‌به‌گاه با جهش‌های +$350 قطع میشود. قاعده ±1σ پراکندگی را درست توصیف می‌کند، اما تا وقتی N به صدها نرسیده، شکل را بد. برای شرط‌های پول‌برابرشرطشرط پول‌برابرقرمز/سیاه، فرد/زوج، بالا/پایین. 18 شماره، با پرداخت 1:1.خواندن کامل ← تقریب نرمال از حدود 30 چرخش خوب است.
فرمول
پرسش‌ها
اثبات این است که حدود 40 جلسه بازی کردهاید، یا همان یک جلسه خوششانس از چهل جلسه بوده است. تکرارش کنید.
نوسانش کمتر و کمتر میشود: خطای معیار میانگین σ/√N است. در N = 10,000 برابر 1% از مبلغ شرط است.
سرگرمی با ریاضی
اول خودتان امتحان کنید. هر راه‌حل بسته است؛ هر وقت آماده بودید بازش کنید.
در 100 چرخش یک چرخ اروپایی، یک واحدپولواحدمبلغ شرط پایه‌ای که یک سیستم یا بازیکن با آن کار می‌کند. تصاعدها با واحد توصیف می‌شوند تا در هر میزی کاربرد داشته باشند.خواندن کامل ← روی قرمزشرطقرمزشرط پول‌برابر روی 18 شماره قرمز. فرانسوی: rouge.خواندن کامل ← با دست‌کم 51 برد جلوست، و یک واحد روی یک تک‌عددشرطتک‌عددیک شماره، با پرداخت 35:1.خواندن کامل ← اگر شماره‌اش دست‌کم 3 بار بیاید جلوست. با منحنی زنگوله‌ای هر دو احتمال را برآورد کنید، سپس آن‌ها را با پاسخ‌های دقیق مقایسه کنید.
نمایش راه‌حل
پاسخ قرمز: منحنی زنگوله‌ای 35.6% می‌دهد و پاسخ دقیق 35.5% است. تک‌عدد: منحنی زنگوله‌ای 55.0% می‌دهد و پاسخ دقیق 50.9% است. این میان‌بر برای قرمز کار می‌کند و برای شماره تکی خطا می‌رود.
قرمز: بردها به‌طور میانگین 100 × 18/37 = 48.6 هستند، با پراکندگی √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0. جلو بودن یعنی 51 یا بیشتر؛ نقطه میانی، 50.5، 0.37 پراکندگی بالاتر از میانگین است، و منحنی زنگوله‌ای 35.6% را بالای آن می‌گذارد. جمع احتمال‌های دقیق 51، 52 … 100 برد 35.5% می‌دهد.
تک‌عدد: آمدن‌ها به‌طور میانگین 100/37 = 2.70 هستند، با پراکندگی √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62. سه بار یا بیشتر یعنی بالای 2.5، که 0.12 پراکندگی پایین‌تر از میانگین است: 55.0% با منحنی زنگوله‌ای. به‌طور دقیق، 1 منهای احتمال‌های 0، 1 و 2 بار آمدن است، 6.5% + 17.9% + 24.7%، که 50.9% باقی می‌گذارد.
منحنی زنگوله‌ای به نتایج فراوان در هر دو سوی میانگین نیاز دارد. قرمز پس از 100 چرخش آن‌ها را دارد؛ شماره‌ای که به‌طور میانگین کمتر از سه بار می‌آید ندارد. منحنی حتی به «هیچ بار» 8.7% می‌دهد، در حالی که احتمال واقعی 6.5% است. Taylor (2021) توزیع دوجمله‌ای و منحنی زنگوله‌ای را به همین شیوه کنار هم می‌گذارد.
چاشنی طنز
از هر بیست جلسه یکی بیرون از دو سیگماست. همیشه کسی روی دنباله توزیع است.
منابع
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.