همگرایی بلندمدت: قانون اعداد بزرگ در رولت
چگونه میانگین به سمت −2.70% می‌نشیند، و چرا این کار بیش از آنچه شهود می‌گوید طول می‌کشد.
میانگین زیان هر چرخش با افزایش تعداد چرخش‌ها به −1/37 همگرا می‌شود، با پراکندگی‌ای که مانند 1/√N کوچک می‌شود. پس از 1,000 چرخش شرط روی قرمز، میانگین معمولاً در فاصله ±3% از مقدار مورد انتظارش است.
قانون اعداد بزرگ
میانگین جاری شرط‌های مستقل به ارزش مورد انتظارریاضیارزش مورد انتظارمیانگین نتیجه هر شرط در بلندمدت. برای هر شرط استاندارد اروپایی برابر با −1/37 مبلغ شرط است.خواندن کامل ← میل میکند. پس از N چرخش پولبرابر با یک واحدپولواحدمبلغ شرط پایه‌ای که یک سیستم یا بازیکن با آن کار میکند. تصاعدها با واحد توصیف میشوند تا در هر میزی کاربرد داشته باشند.خواندن کامل ←، میانگین نتیجه هر چرخش امید ریاضی −1/37 و انحراف معیارریاضیانحراف معیارریشه دوم واریانس؛ فاصله معمول یک نتیجه از ارزش مورد انتظار.خواندن کامل ← 1/√N دارد. در N = 100 این پراکندگی 10% مبلغ شرط است، تقریباً چهار برابر سیگنال 2.7%. در N = 1,000 برابر 3.2% است، تقریباً هم‌اندازه سیگنال. در N = 10,000 برابر 1% است و برتری کازینو بهروشنی دیده می‌شود. برتری در یک جلسه نامرئی است و در یک سال انکارناپذیر.
چه چیزی همگرا می‌شود و چه چیزی نه
میانگین هر چرخش همگرا می‌شود. مجموع نه: با رشد N از صفر دورتر می‌شود، در حالت مورد انتظار به اندازه حدود 2.7% از N، با پراکندگی √N در اطراف آن. انتظار میرود بازیکنی که 10,000 چرخش با $10 بازی کرده $2,700 زیان داشته باشد، با نوسان $1,000. نسبت جاری قرمزهاشرطقرمزشرط پولبرابر روی 18 شماره قرمز. فرانسوی: rouge.خواندن کامل ← مدت‌هاست نزدیک 48.65% نشسته است؛ موجودی جاری هیچ‌جا ننشسته است.
- p10 −$440
- p25 −$280
- میانه −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
چرا شهود خطا میکند
مردم انتظار دارند برتری زود آشکار شود، چون 2.70% زیاد به نظر می‌رسد، و انتظار دارند رشته‌های طولانی «جبران شوند»، چون قانون اعداد بزرگریاضیقانون اعداد بزرگمیانگین نتایج مستقل با افزایش شمار آزمون‌ها به ارزش مورد انتظار همگرا می‌شود.خواندن کامل ← می‌گوید میانگین‌ها همگرا میشوند. هر دو شهود مقیاس را اشتباه می‌سنجند: برتری در برابر واریانسریاضیواریانسسنجشی از میزان پراکندگی نتایج پیرامون ارزش مورد انتظار. برای تکعدد زیاد و برای شرط‌های پولبرابر کم است.خواندن کامل ← یک چرخش کوچک است (σ = 1 واحد در برابر EV = 0.027)، پس (1/0.027)² ≈ 1,400 چرخش طول می‌کشد تا در حد یک سیگما دیده شود. و همگرایی میانگین هیچ کمکی به بازگشت مجموع نمی‌کند؛ فقط نوسانهای گذشته را رقیق میکند.
همگرایی برای شرط‌های دیگر
برای تک‌عددهاشرطتک‌عددیک شماره، با پرداخت 35:1.خواندن کامل ← σ = 5.84 است، پس همین محاسبه (5.84/0.027)² ≈ 47,000 چرخش می‌دهد تا برتری به یک سیگما برسد. بازیکن تکعدد می‌تواند سال‌ها بازی کند بی‌آنکه برتری در سوابق خودش از شانس تمیزدادنی باشد، در حالی که دقیقاً همان 2.70% را می‌پردازد که بازیکن قرمز می‌پردازد و او ظرف چند هفته آن را می‌بیند.
پیامد برای آزمودن سیستم‌ها
هر کس ادعا میکند سیستمی کار میکند باید بتواند آن را در 10,000 چرخش یا بیشتر با میانگین مثبت مستند نشان دهد. در 1,000 چرخش، میانگین مثبت روی پولبرابر تحت فرض صفر رویدادی یک‌در‌پنج است؛ در 100 چرخش تقریباً شیر یا خط است. شبیه‌سازهای این سایت 2,000 جلسه به طولی که شما انتخاب می‌کنید را در یک ثانیه اجرا می‌کنند، که شواهدی بیش از هر گواهی شخصی است.
فرمول
پرسش‌ها
احتمالریاضیاحتمالشانس یک نتیجه، از 0 تا 1 یا از 0% تا 100%. یک شماره: 1/37 = 2.70%.خواندن کامل ← اینکه روزی دوباره جلو بیفتید با ادامه بازی به سمت صفر میرود. مجموع بیهیچ حدی رو به پایین میرود.
نه. یعنی نوسانهای گذشته کسر کوچکتری از یک نمونه بزرگتر میشوند.
برای پولبرابر، حدود 10,000 چرخش تا برتری بهروشنی دیده شود. برای تکعدد، حدود 50,000.
سرگرمی با ریاضی
اول خودتان امتحان کنید. هر راه‌حل بسته است؛ هر وقت آماده بودید بازش کنید.
دو دوست 20 دور از یک بازی منصفانهریاضیبازی منصفانهبازی‌ای که هیچ طرفی در آن برتری ندارد: هر شرط ارزش مورد انتظار صفر دارد.خواندن کامل ← بازی می‌کنند، شیر یا خط یا قرمزشرطقرمزشرط پولبرابر روی 18 شماره قرمز. فرانسوی: rouge.خواندن کامل ← در برابر سیاهشرطسیاهشرط پولبرابر روی 18 شماره سیاه. فرانسوی: noir.خواندن کامل ← که در آن روی صفرچرخصفرخانه سبز تکی که هیچ شرط پولبرابر، دوجین یا ستونی آن را نمی‌پوشاند؛ سرچشمه برتری کازینو. نام‌های دیگر: صفر تکی، 0.خواندن کامل ← مبلغ شرط پس داده می‌شود، و امتیاز جاری را نگه می‌دارند. دورهایی را بشمارید که در آن‌ها هرکدام جلوست (تساوی به حساب کسی گذاشته می‌شود که درست پیش از آن جلو بود). کدام محتمل‌تر است: اینکه جلو بودن 10 دور به 10 دور تقسیم شود، یا اینکه یک دوست در هر 20 دور جلو باشد؟
نمایش راه‌حل
پاسخ جلو بودن یک دوست در هر 20 دور بسیار محتمل‌تر است: 35.2%، با شمردن هر دو دوست، در برابر 6.1% برای تقسیم برابر 10 به 10.
احتمال اینکه امتیاز جاری منصفانه پس از 2k دور مساوی باشد u = C(2k, k)/2²ᵏ است: 0.246 پس از 10 دور و 0.176 پس از 20 دور. نتیجه‌ای کلاسیک، قانون آرک‌سینوس، می‌گوید احتمال اینکه یک دوست مشخص در دقیقاً 2k دور از 2n دور جلو باشد u(2k) × u(2n − 2k) است.
جلو بودن در هر 20 دور: u(20) × u(0) = 0.176 برای هر دوست، 35.2% برای هر دو دوست روی هم. تقسیم برابر: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%، کم‌احتمال‌ترین تقسیم از همه.
پس در بازی منصفانه جلو بودن به‌ندرت دست‌به‌دست می‌شود. بازیکنی که تمام شب جلو بوده، یا تمام شب عقب، چیز غیرعادی‌ای ندیده است، و این هیچ چیزی درباره چرخ یا مهارت نمی‌گوید. Epstein (2013) همین قانون را برای بازی‌های طولانی‌تر می‌دهد: در نیمی از موارد طرف خوش‌شانس‌تر در بیش از 85% بازی جلوست.
چاشنی طنز
میانگین همگرا می‌شود. مجموع فقط دور می‌شود.
منابع
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.