آزمون کای‌دو
آزمون استاندارد برای این پرسش: «آیا این 37 شمارش همان چیزی است که یک چرخ منصفانه تولید می‌کند؟»
χ² = Σ (مشاهده شده − مورد انتظار)² / مورد انتظار، روی هر 37 خانه. آن را با توزیع χ² با 36 درجه آزادی مقایسه کنید تا مقدار p به دست آید.
محاسبه آن
شمارش مورد انتظار برای هر خانهتجهیزاتخانهیکی از 37 محفظه شماره‌دار روی روتور. نام‌های دیگر: شیار، جام.خواندن کامل ← n/37 است. برای هر خانه، تفاوت شمارش مشاهده‌شده و مورد انتظار را به توان دو برسانید و بر مقدار مورد انتظار تقسیم کنید؛ 37 جمله را جمع کنید. یک چرخ منصفانه به طور میانگین مقادیری حدود 36 میدهد (همان درجه آزادیآزمایشگاهدرجه آزادیتعداد مقدارهای مستقل در یک آماره. برای آزمون کای‌دو روی 37 خانه، 36 است، چون شمارش‌ها باید به جمع کل برسند.خواندن کامل ←)، با انحراف معیارریاضیانحراف معیارریشه دوم واریانس؛ فاصله معمول یک نتیجه از ارزش مورد انتظار.خواندن کامل ← حدود 8.5. بالاتر از 51.0 در سطح 5% معنادار است؛ بالاتر از 58.6 در سطح 1%. تحلیلگر سوگیری چرخ رولت آماره و مقدار pآزمایشگاهمقدار pاحتمال دیدن انحرافی دست‌کم به‌اندازه انحراف مشاهده‌شده، اگر چرخ منصفانه باشد.خواندن کامل ← دقیق را از تابع گامای ناقص منظم‌شده محاسبه می‌کند.
یک مثال حل‌شده
1,000 چرخش. سی‌وشش خانه بین 20 تا 34 بار آمده‌اند؛ خانه 8، 41 بار. مقدار مورد انتظار 27.03 است. جمله خانه 8 به‌تنهایی (41 − 27.03)²/27.03 = 7.2 است. فرض کنید 36 جمله دیگر روی هم 38 شوند (حالت معمول). χ² = 45.2 با 36 df، p ≈ 0.14. معنادار نیست: یک چرخ منصفانه از هر هفت بار یک بار چنین نتیجه‌ای میدهد. خانه 8 یک نامزد است، نه یک یافته، و پاسخ هزار چرخش دیگر است.
فرض‌ها
چرخش‌های مستقلریاضیچرخش‌های مستقلهر چرخش صرف‌نظر از تاریخچه، احتمال‌های یکسان دارد. پایه هر محاسبه این سایت.خواندن کامل ←، و شمارش مورد انتظار دست‌کم 5 برای هر خانه، یعنی n ≥ 185 تا آزمون اصلاً معتبر باشد، و بسیار بیشتر تا مفید باشد. یکی کردن چرخش‌های چند چرخ فرض نخست را در روح آن نقض می‌کند (شما مخلوطی را آزمون می‌کنید، نه یک چرخ). اثر امضای دیلر آن را در عمل نقض می‌کرد و χ² را بالا می‌برد، بی‌آنکه هیچ خانه‌ای از نظر فیزیکی برتری داشته باشد.
پیرسون و مونت‌کارلو
کارل پیرسون این آزمون را در 1900 منتشر کرد، و یکی از نخستین مثال‌های حل‌شده‌اش 26,306 چرخش ثبت‌شده رولت مونت‌کارلو بود که آنها را بسیار نایکنواخت‌تر از آن یافت که حاصل شانس باشند و اعلام کرد که «رولت مونت‌کارلو… بازی شانس نیست». نویسندگان بعدی نتیجه گرفتند که روزنامه‌نگارانی که چرخش‌ها را برای یک روزنامه ثبت می‌کردند بسیاری از آنها را از خود ساخته بودند، که خود درسی درباره منشأ داده‌هاست.
پیرسون آزمون نیکویی برازش کای‌دو را منتشر می‌کند، با چرخش‌های مونت‌کارلو به عنوان مثال.
داده‌های چرخش زیر سؤال می‌رود؛ به نظر می‌رسد ثبت‌کنندگان رشته‌هایی از نتایج را جعل کرده‌اند.
فیشر درجه آزادی را صورت‌بندی می‌کند؛ قرارداد 5% جا می‌افتد.
آمارشناسان چرخش‌های رولت را به عنوان داده درسی برای آزمون‌های یکنواختی به کار می‌برند.
خانواده گارسیا-پلایو این روش را با داده‌های واقعی ثبت‌شده به کار می‌برند و در مادرید برنده می‌شوند.
کازینوها همین آزمون را به عنوان نگهداری معمول روی چرخ‌های خود اجرا می‌کنند.
یک آزمون واقعی: چرخ‌های خودکار در لاس‌وگاس
بازیکنان اغلب گمان می‌کنند که چرخ خودکار توپتجهیزاتتوپتوپ کوچک که خلاف روتور در مسیر پرتاب میشود. توپ‌های مدرن از ایورین یا تفلون و به‌اندازه 18–21 mm هستند.خواندن کامل ← را از شرط‌های بزرگ دور می‌کند. تحلیلی در 2017 این گمان را روی چرخ‌های بدون دیلر و صفرچرخصفرخانه سبز تکی که هیچ شرط پول‌برابر، دوجین یا ستونی آن را نمی‌پوشاند؛ سرچشمه برتری کازینو. نام‌های دیگر: صفر تکی، 0.خواندن کامل ← دوتایی Interblock در لاس‌وگاس به آزمون گذاشت، با شرط بستن روی کمانی از پنج شماره همسایه، همان نوع شرطی که یک زمان‌سنج چرخ (wheel clocker) می‌بندد. در 299 چرخش، این کمان 29 بار برد، در برابر 39.3 بار مورد انتظار، کمبودی که چرخ منصفانه در حدود 4% موارد پدید می‌آورد. کای‌دو روی همه 38 خانه 45.29 با 37 درجه آزادی بود: p = 16.5%. نمونه دوم 1,204 چرخشی روی سه چرخ χ² = 34.79 و p = 57% داد، و هیچ کمانی، با هر اندازه‌ای که تحلیلگر امتحان کرد، معنادار نبود. هر دو نمونه باهم، 1,503 چرخش، χ² = 41.75 و p = 27% دادند. حکم این بود: هیچ شاهدی بر هدایت توپ نیست. نمونه نخست به‌تنهایی مشکوک به نظر می‌رسید؛ نمونه دوم بود که موضوع را روشن کرد.
فراتر از کای‌دو
برای یک خانه مشکوک منفرد، آزمون دوجمله‌ای توان بیشتری دارد. برای یک کمان مشکوک، آزمون z بخشچرخبخشکمان پیوسته‌ای از خانه‌ها روی چرخ، در برابر گروهی روی چیدمان.خواندن کامل ← در صفحه تحلیل بخش. کای‌دو آزمون فراگیر است: به شما می‌گوید چیزی درست نیست، بی‌آنکه بگوید چه چیزی. اول از آن استفاده کنید، سپس دقیق‌تر نگاه کنید.
فرمول
پرسش‌ها
جمع 37 شمارش باید n شود، پس فقط 36 تا از آنها آزادانه تغییر می‌کنند.
چرخی که یکی از خانههایش در 10,000 چرخش با نرخ 1/25 بیاید، فقط جمله همان خانه حدود 70 میشود؛ χ² بسیار بیش از 100 و p عملاً صفر است.
از نظر فنی بله، با مقدار مورد انتظار 5.4 برای هر خانه. هیچ چیزی را تشخیص نمی‌دهد، مگر چرخی که یکی از خانههایش با چسب بسته شده باشد.
چاشنی طنز
غافلگیری‌های به توان دو رسیده را جمع بزنید. با 51.0 مقایسه کنید.
منابع
- Pearson, K. «On the criterion that a given system of deviations from the probable…»
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. «Organic Roulette Experiment».