احتمال رشتهها در رولت
رشتههای طولانی از یک رنگ رایج‌اند. برای چرخش بعدی هم بی‌معنا هستند.
پنج قرمز پیاپی: 2.7%. ده: 0.074%. در یک جلسه 200 چرخشی، رشته‌ای شش‌تایی از یک رنگ در بیش از نیمی از موارد پیدا میشود.
رشته باخت هر چند وقت یک بار پیش می‌آید
شرط پول‌برابر روی چرخ تک‌صفر در 19 چرخش از 37 می‌بازد. هر سطر احتمال این است که یک رشته مشخص از چرخش‌ها همه ببازند، و اینکه بازیکن مارتینگل، که پس از هر باخت دوبرابر می‌کند، تا آن موقع چقدر باخته است.
| باخت‌های پیاپی | احتمال | حدود 1 در | باخت تا اینجا | شرط بعدی |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
احتمال برابر است با 19/37 که به ازای هر باخت یک بار در خودش ضرب میشود، با شمارش از یک چرخش مشخص. یک جلسه طولانی چرخش‌های بسیاری دارد که چنین رشته‌ای می‌تواند از آنها شروع شود، پس در طول یک شب احتمالش بسیار بیشتر از آن است که یک سطر نشان می‌دهد.
یک رشته واحد
احتمالریاضیاحتمالشانس یک نتیجه، از 0 تا 1 یا از 0% تا 100%. یک شماره: 1/37 = 2.70%.خواندن کامل ← اینکه k چرخش بعدی همه قرمزشرطقرمزشرط پول‌برابر روی 18 شماره قرمز. فرانسوی: rouge.خواندن کامل ← باشند (18/37)ᵏ است. دو: 23.7%. پنج: 2.7%. ده: 0.074%، حدود 1 در 1,350. بیست: 1 در 1.8 میلیون. بیست‌وشش، رکورد مونتکارلو: 1 در 137 میلیون. این‌ها احتمال یک رشته مشخص است که از یک چرخش مشخص شروع شود، و این پرسشی است که تقریباً هیچ‌کس واقعاً نمی‌پرسد.
در یک جلسه
پرسشی که مردم در ذهن دارند این است: «آیا رشته‌ای به طول k جایی در جلسه من پیدا میشود؟»، و پاسخ آن بسیار بزرگ‌تر از (18/37)ᵏ است، چون یک جلسه 200 چرخشی نزدیک به 200 جا برای شروع یک رشته دارد. رشته‌ای شش‌تایی یا طولانی‌تر از یک رنگ، قرمز یا سیاهشرطسیاهشرط پول‌برابر روی 18 شماره سیاه. فرانسوی: noir.خواندن کامل ←، در یک جلسه 200 چرخشی حدود 94% مواقع پیدا میشود؛ هشت‌تایی یا بیشتر حدود 47%؛ ده‌تایی یا بیشتر حدود 14%. اگر رنگ را از پیش تعیین کنید، این شانس‌ها به حدود 75%، 27% و 7% کاهش می‌یابند. بازیکنی که یک شب پشت میز بنشیند، هر شب رشتههای طولانی خواهد دید.
چرا برای مارتینگل مهم است
هر تصاعدراهبردتصاعدهر قاعده‌ای که مبلغ شرط را بر پایه نتیجه‌های پیشین تغییر دهد. تصاعدهای منفی پس از باخت و مثبت پس از برد آن را افزایش می‌دهند.خواندن کامل ← منفی طول رشته‌ای دارد که آن را می‌شکند: شش باخت از پایه $10 با محدودیت $500، ده برای فیبوناچیراهبردفیبوناچیتصاعدی که دنباله 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13… را دنبال می‌کند: پس از باخت یک گام جلو و پس از برد دو گام عقب.خواندن کامل ←، پنج برای سه‌برابر کردن روی دوجین‌هاشرطدوجین1–12، 13–24 یا 25–36، با پرداخت 2:1.خواندن کامل ←. احتمال یک رشته باخت شش‌تایی روی پول‌برابر در هر تلاش (19/37)⁶ ≈ 1.8% است، و یک جلسه 200 چرخشی شاید 100 تلاش داشته باشد، پس شکست در تقریباً چهار جلسه از هر پنج جلسه با این طول فرا می‌رسد. احتمال رشتهها در رولت دلیل نادر نبودن این پرتگاه است.
شماره‌های داغ و سرد
همین حساب درباره تک‌عددهاشرطتک‌عددیک شماره، با پرداخت 35:1.خواندن کامل ← هم صدق می‌کند. در 300 چرخش، شمار مورد انتظار برای هر شماره 8.1 است؛ انحراف معیارریاضیانحراف معیارریشه دوم واریانس؛ فاصله معمول یک نتیجه از ارزش مورد انتظار.خواندن کامل ← حدود 2.8 است. هر بار، صرفاً به‌طور تصادفی، شماره‌ای 15 بار و شماره‌ای 2 بار می‌آید. تابلوی نتایجی که شماره‌های «داغ» را برجسته می‌کند، بالای یک توزیع نرمال را برجسته می‌کند. آزمایشگاه توضیح می‌دهد چند چرخش لازم است تا یک شماره داغباورشماره داغشماره‌ای که اخیراً بیش از انتظار ظاهر شده است. روی چرخی منصفانه، هیچ‌چیز را پیش‌بینی نمی‌کند.خواندن کامل ← معنایی پیدا کند (هزاران، از یک چرخ مشخص).
استقلال اصل ماجراست
ده قرمز پیاپی سیاه را محتمل‌تر نمی‌کند، و قرمز را هم محتمل‌تر نمی‌کند. هر دو 18/37 هستند. رشتهها ویژگی توالی‌های تصادفی‌اند و نبودنشان مشکوک می‌بود: توالی‌ای از 200 چرخش بدون هیچ رشته‌ای طولانی‌تر از چهار، شاهدی بسیار قوی‌تر بر دستکاری است تا توالی‌ای با رشته‌ای دوازده‌تایی.
فرمول
پرسش‌ها
26 سیاه در مونتکارلو در 18 اوت 1913 مشهورترین آن است. گزارش شده که در 1943 در یک کازینوی آمریکایی 32 قرمز پیاپی آمده است. با توجه به تعداد چرخشهایی که کازینوها اجرا میکنند، هر دو با شانس سازگارند.
در هر حال 18/37 است. همان را شرط ببندید که برنامهتان میگوید، یا هیچ.
نه. سوگیری به شکل آمدن بیشتر برخی خانه‌هاتجهیزاتخانهیکی از 37 محفظه شماره‌دار روی روتور. نام‌های دیگر: شیار، جام.خواندن کامل ← در طول هزاران چرخش نمایان میشود، نه به شکل رشتههای یک رنگ.
سرگرمی با ریاضی
اول خودتان امتحان کنید. هر راه‌حل بسته است؛ هر وقت آماده بودید بازش کنید.
در یک چرخ اروپایی، به‌طور میانگین چند چرخش لازم است تا هر یک از 37 شماره دست‌کم یک بار بیاید؟
نمایش راه‌حل
پاسخ به‌طور میانگین حدود 155 چرخش؛ میانه 147 است.
انتظار را شماره جدید به شماره جدید بشمارید. چرخش اول همیشه شماره‌ای جدید نشان می‌دهد. وقتی 1 شماره دیده‌اید، 36 خانهتجهیزاتخانهیکی از 37 محفظه شماره‌دار روی روتور. نام‌های دیگر: شیار، جام.خواندن کامل ← از 37 جدیدند، پس شماره جدید بعدی به‌طور میانگین 37/36 چرخش طول می‌کشد. وقتی k شماره دیده‌اید، 37/(37 − k) طول می‌کشد.
انتظارها را جمع کنید: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 چرخش.
بیشتر این مقدار مال پایان کار است. آخرین شماره به‌تنهایی به‌طور میانگین 37 چرخش می‌گیرد، و پنج شماره آخر حدود 85. روی چرخ آمریکایی همین جمع حدود 161 می‌دهد. این مسئله جمع‌آوری کوپن است؛ همین میانگین از محاسبه استاندارد به دست می‌آید.
در 37 چرخش یک چرخ اروپایی، یعنی یک چرخش برای هر خانه، انتظار دارید چند شماره متفاوت ببینید؟
نمایش راه‌حل
پاسخ حدود 23.6. تقریباً یک‌سوم شماره‌ها، حدود 13 شماره، اصلاً نمی‌آیند.
یک شماره را در نظر بگیرید، مثلاً 17. در هر چرخش با احتمال 36/37 نمی‌آید، پس با احتمال (36/37)³⁷ ≈ 0.363 در هیچ‌یک از 37 چرخش نمی‌آید.
همه شماره‌ها همین احتمال را دارند، پس به‌طور میانگین 37 × 0.363 ≈ 13.4 شماره غایب‌اند و 37 − 13.4 ≈ 23.6 شماره می‌آیند، که بسیاری از آنها دو بار یا بیشتر می‌آیند.
بازیکنان رولت این را قانون یک‌سوم‌ها می‌نامند. این قانونی نیست، فقط حساب تکرارهاست: در دنباله‌ای به درازای چرخ، حدود یک‌سوم شماره‌ها کنار می‌مانند، روی چرخ منصفانه مثل هر چرخ دیگر. روی 38 خانه این سهم هم (37/38)³⁸ ≈ 0.363 است؛ برای چرخی بزرگ نزدیک 1/e ≈ 0.368 می‌ایستد.
دوستی دو فهرست 50تایی از رنگ‌ها، قرمزشرطقرمزشرط پول‌برابر روی 18 شماره قرمز. فرانسوی: rouge.خواندن کامل ← یا سیاهشرطسیاهشرط پول‌برابر روی 18 شماره سیاه. فرانسوی: noir.خواندن کامل ←، نشانتان می‌دهد که گفته میشود هر دو از چرخی آمده‌اند که صفرهاچرخصفرخانه سبز تکی که هیچ شرط پول‌برابر، دوجین یا ستونی آن را نمی‌پوشاند؛ سرچشمه برتری کازینو. نام‌های دیگر: صفر تکی، 0.خواندن کامل ← از آن کنار گذاشته شده‌اند. یکی 25 بار رنگ عوض می‌کند و طولانیترین رشته‌اش شش است. دیگری 35 بار عوض می‌کند و هرگز از سه بیشتر نمی‌رود. کدام ساختگی است؟
نمایش راه‌حل
پاسخ دومی. یک فهرست واقعی حدود 24 یا 25 بار رنگ عوض می‌کند. فهرستی با 35 تغییر حدود یک بار در 500 فهرست پیش می‌آید، و فهرستی بی‌هیچ رشته‌ای بلندتر از سه حدود دو بار در 100.
هر رنگ جدید یا رنگ قبلی را تکرار می‌کند یا عوض میشود، نیم‌به‌نیم، پس 49 فرصت تغییر به‌طور میانگین 24.5 تغییر می‌دهد، با نوسانی حدود 3.5. سی‌وپنج سه گام از این اندازه بالاتر از میانگین است؛ چرخی منصفانه این همه تغییر را حدود یک بار در 500 فهرست می‌دهد.
رشتهها هم همین را می‌گویند. یک فهرست واقعی 50تایی در حدود 98% موارد رشته‌ای چهارتایی یا بلندتر دارد، و طولانیترین رشته‌اش بیشتر وقت‌ها پنج یا شش است.
کسانی که از آنها خواسته میشود فهرستی تصادفی بسازند بیش از حد رنگ عوض میکنند، چون رشته‌ای چهار یا پنج‌تایی به چشمشان الگو می‌آید. Taylor (2021) همین نشانه را در فهرست‌های شیر یا خطی نشان می‌دهد که دانشجویان ساخته‌اند: تصادف واقعی رشته‌دارتر از انتظار مردم است.
کتابی از داستان‌های کازینو از بازیکنی میگوید که شماره‌اش پنج بار پشت سر هم آمد و آن را رکورد می‌نامد. این روی چرخ اروپایی چقدر نادر است؟ و در یک کازینو با 20 میز، که هرکدام شبانه‌روز ساعتی 40 بار می‌چرخند، چند وقت یک بار باید جایی رخ دهد؟
نمایش راه‌حل
پاسخ یک شماره ازپیش‌نام‌برده پنج بار پیاپی: 1 در 69 میلیون. هر شماره‌ای که پس از نخستین آمدنش چهار بار دیگر بیاید: 1 در 1.87 میلیون. آن کازینو سالی حدود 7 میلیون بار می‌چرخد، پس باید سالی سه یا چهار بار رشته‌ای پنج‌تایی ببیند.
یک شماره ازپیش‌نام‌برده در هر چرخش با احتمال 1/37 می‌آید، پس پنج بار پیاپی احتمال (1/37)⁵ = 1 در 69,343,957 دارد. اما هیچ‌کس شماره را از پیش نام نمی‌برد. هر چه اول بیاید، چهار چرخش بعدی باید آن را تکرار کنند: (1/37)⁴ = 1 در 1,874,161.
20 میز × 40 چرخش × 24 ساعت × 365 روز = 7,008,000 چرخش در سال. هر چرخش می‌تواند آغاز یک رشته باشد، پس کازینو انتظار دارد سالانه 7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7 رشته پنج‌تایی ببیند.
هیچ رکورد رسمی از این نوع وجود ندارد، و نیازی هم به آن نیست: رویدادی نادر در یک میز در سراسر یک کازینو رویدادی عادی است، و داستان‌ها درباره میزی گفته می‌شوند که در آن رخ داده است. این داستان، در Goldman (2007)، روی چرخی با صفر دوتایی رخ می‌دهد، که ارقامش 1 در 79 میلیون و 1 در 2.09 میلیون است.
چاشنی طنز
رشتههای طولانی همان شکل تصادف‌اند.
منابع
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.