مسئله: محدودیت میز
مارتینگل $10 پشت میزی با سقف $500. چند وقت یک‌بار می‌شکند، وقتی می‌شکند چقدر می‌بازد، و آیا بالا بردن سقف کمکی میکند؟
شش باخت پشت سر هم آن را می‌شکند: 1.8% در هر چرخه، حدود 60% جلسه‌های 100 چرخشی. شکست $630 هزینه دارد. بالا بردن سقف به $5,000 شکست را نادرتر (0.25% در هر چرخه) و بزرگتر ($5,110) میکند. زیان مورد انتظار به ازای هر دلار شرط در هر سقفی 2.70% است.
مسئله
بازیکنی $10 روی قرمزشرطقرمزشرط پول‌برابر روی 18 شماره قرمز. فرانسوی: rouge.خواندن کامل ← شرط می‌بندد و پس از هر باخت مبلغ را دو برابر میکند و پس از برد به مبلغ پایه بازمی‌گردد. حداکثر میز $500 است. (a) چند باخت پیاپی تصاعدراهبردتصاعدهر قاعده‌ای که مبلغ شرط را بر پایه نتیجه‌های پیشین تغییر دهد. تصاعدهای منفی پس از باخت و مثبت پس از برد آن را افزایش می‌دهند.خواندن کامل ← را می‌شکند؟ (b) احتمالریاضیاحتمالشانس یک نتیجه، از 0 تا 1 یا از 0% تا 100%. یک شماره: 1/37 = 2.70%.خواندن کامل ← آن در هر چرخه چقدر است؟ (c) در شکست چقدر از دست می‌رود؟ (d) سقف $5,000 پاسخ‌ها را چگونه تغییر میدهد؟ (e) آیا هیچ سقفی سیستم را سودآور میکند؟
راه‌حل‌های (a)–(c)
مبلغ شرط ها: 10، 20، 40، 80، 160، 320. هفتمی 640 > 500 می شد، پس شش باخت آن را می شکند. (b) p(باخت) = 19/37 روی قرمز؛ (19/37)⁶ = 0.0183، یعنی حدود 1.8% در هر چرخه. هر چرخه به طور میانگین حدود دو چرخش طول می کشد، پس یک جلسه 100 چرخشی تقریباً 50 چرخه دارد و p(دست کم یک شکست) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، یعنی 63 واحدپولواحدمبلغ شرط پایه‌ای که یک سیستم یا بازیکن با آن کار میکند. تصاعدها با واحد توصیف می‌شوند تا در هر میزی کاربرد داشته باشند.خواندن کامل ← پایه، در برابر $10 که چرخه می خواست ببرد.
راه‌حل (d)
با $5,000: مبلغ شرط تا 2,560 مجاز است؛ مبلغ دهم، 5,120، پذیرفته نمی‌شود. نه باخت آن را می‌شکند: (19/37)⁹ ≈ 0.25% در هر چرخه، حدود 11% جلسه‌های 100 چرخشی. زیان در شکست: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. بازیکن فاجعه‌ای نادرتر را به بهای فاجعه‌ای بزرگتر خریده است. در طول جلسه‌های بسیار، هزینه مورد انتظار شکست‌ها p × زیان ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 در هر چرخه با سقف $500 و 0.0025 × 5,110 = $12.8 با $5,000 است؛ با احتساب گرد کردن، همان عدد است، و برابر است با زیان مورد انتظارریاضیزیان مورد انتظارارزش مورد انتظار ضربدر کل مبلغ شرط‌بندی‌شده؛ میانگین مبلغ باخته‌شده در یک جلسه یا دوره.خواندن کامل ← چرخه منهای $10 که چرخه‌های برنده به دست می‌آورند.
راه‌حل (e)
نه. زیان مورد انتظار هر چرخه = (کل مبلغ شرط مورد انتظار در چرخه) / 37، در هر سقفی، چون هر شرط −1/37 خودش است. سقف تنها تعیین میکند زیان چگونه میان بردهای کوچک بسیار و باخت‌های بزرگ اندک تقسیم شود. بدون سقف و با سرمایه بازیپولسرمایه بازیکل مبلغی که برای بازی کنار گذاشته شده است. مدیریت سرمایه بازی یعنی تصمیم‌گیری درباره مقدار ریسک آن در هر شرط و هر جلسه.خواندن کامل ← بی‌نهایت، تصاعد «کار می‌کرد»، به این معنا که هرگز نمی‌شکست، و در عین حال مبلغی بی‌کران شرط می‌بست با زیان مورد انتظار 2.70% همان مبلغ بی‌کران. محدودیت میزمیزمحدودیت میزحداقل و حداکثر شرط مجاز. حداکثر است که تصاعدهای دوبرابرکردن را متوقف میکند.خواندن کامل ← آن چیزی نیست که جلوی کارکرد مارتینگلراهبردمارتینگلتصاعدی که پس از هر باخت، مبلغ شرط را دوبرابر میکند. بخش «راهبردهای شرط‌بندی رولت» را برای آنچه انجام میدهد و نمی‌دهد ببینید.خواندن کامل ← را می‌گیرد. حساب است.
دو میز واقعی
مثال تورپ میزی $1 با حداکثر $1,000 است که بازیکنی در آن امیدوار است دلار به دلار $30 برای شام ببرد. مبلغ‌های 1، 2، 4 … 512 ده شرط را ممکن می‌کنند، پس ده باخت پشت سر هم تصاعد را می‌شکند: یک بار در 785 چرخه روی چرخ اروپایی (یک بار در 613 روی چرخ آمریکایی)، با هزینه $1,023. سی چرخه در 96.2% مواقع همه موفق می‌شوند. 3.8% دیگر حدود $1,000 می‌بازند و میانگین نتیجه شب −$9.17 است، که دقیقاً 1/37 از $339 است که سی چرخه به‌طور میانگین شرط می‌بندند. میزی $5 با حداکثر $2,000 فرقی ندارد: مبلغها تا $1,280 نه شرط را ممکن می‌کنند و شکست یک بار در 403 چرخه روی چرخ اروپایی (یک بار در 323 روی چرخ آمریکایی) رخ میدهد و $2,555 هزینه دارد.
بازیکنی ثروتمند
به جای سقفی پایین، به تصاعد سرمایه بازی عمیقی بدهید: 1,000 واحد، پایه یک واحد و 1,000 چرخش روی قرمز، با بازگشت به یک واحد هر بار که دو برابر بعدی بیش از باقیمانده باشد. ما یک میلیون چنین شبی را شبیه‌سازی کردیم. روی چرخ اروپایی 52% با سود تمام می‌کنند، 21% همه چیز را می‌بازند و میانگین نتیجه −124 واحد است. حتی در بازی بدون صفرچرخصفرخانه سبز تکی که هیچ شرط پول‌برابر، دوجین یا ستونی آن را نمی‌پوشاند؛ سرچشمه برتری کازینو. نام‌های دیگر: صفر تکی، 0.خواندن کامل ←، که در آن هر شرط منصفانه است، تنها حدود 60% با سود تمام می‌کردند. شب معمول بردی کوچک است؛ هزینه میانگین را شب‌هایی می‌پردازند که به صفر می‌رسند.
درس
کازینوها سقف را برای محدود کردن واریانسریاضیواریانسسنجشی از میزان پراکندگی نتایج پیرامون ارزش مورد انتظار. برای تک‌عدد زیاد و برای شرط‌های پول‌برابر کم است.خواندن کامل ← خودشان تعیین می‌کنند، نه برای شکست دادن سیستم‌ها. شکست مارتینگل اثری جانبی است که از داشتنش خشنودند، و حساب در هر حال آن را شکست می‌داد. بازیکنی که فکر میکند مشکل سقف است، صخره را پیدا کرده و آن را با شیب اشتباه گرفته است.
فرمول
پرسش‌ها
به شما اجازه میدهد تا سقفی بالاتر دوام بیاورید، جایی که شکست نادرتر و بزرگتر است. زیان مورد انتظار به ازای هر دلار تغییری نمیکند.
مبلغها 10، 30، 70، 150، 310: سقف $500 پس از پنج باخت میرسد و شکست $570 هزینه دارد. همان 2.70%.
تا یک بازیکن نتواند بیش از آنچه ذخیره کازینو بهراحتی میپردازد شرط ببندد. مدیریت واریانس.
سرگرمی با ریاضی
اول خودتان امتحان کنید. هر راه‌حل بسته است؛ هر وقت آماده بودید بازش کنید.
یک مارتینگلراهبردمارتینگلتصاعدی که پس از هر باخت، مبلغ شرط را دوبرابر میکند. بخش «راهبردهای شرط‌بندی رولت» را برای آنچه انجام میدهد و نمی‌دهد ببینید.خواندن کامل ← با $100 روی قرمزشرطقرمزشرط پول‌برابر روی 18 شماره قرمز. فرانسوی: rouge.خواندن کامل ← شروع میکند و در هر دوره حداکثر n شرط به خود اجازه میدهد: پس از n باخت پیاپی دست می‌کشد و دوباره شروع میکند. نتیجه میانگین یک دوره را به‌صورت فرمولی برحسب n بنویسید، و آن را برای 5، 6 و 7 شرط روی چرخ اروپایی حساب کنید.
نمایش راه‌حل
پاسخ میانگین 100 × (1 − (38/37)ⁿ) است: −$14.26 برای 5 شرط، −$17.35 برای 6 و −$20.52 برای 7. اجازه شرط‌های بیشتر دوره میانگین را بدتر میکند، نه بهتر.
یک دوره $100 می برد مگر آنکه هر n شرط ببازند، که با احتمال qⁿ رخ می دهد، که q = 19/37. وقتی همه می بازند، مبلغ های 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ روی هم 100 × (2ⁿ − 1) می شوند. پس میانگین 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) است.
اینجا 2q = 38/37، اندکی بیش از 1، پس (2q)ⁿ با n رشد می کند و میانگین پایین می آید: n = 5 می دهد 1.1426 و −$14.26؛ n = 6 می دهد 1.1735 و −$17.35؛ n = 7 می دهد 1.2052 و −$20.52. نردبان بلندتر کمتر می بازد، در 3.6%، 1.8% و 0.9% دوره ها، اما هر باخت دو برابر بزرگ تر است، و در هر دوره پول بیشتری از میز می گذرد، با 2.70% از هر شرط.
روی چرخ آمریکایی 2q = 40/38 و ارقام −$29.24، −$36.04 و −$43.20 هستند (Taylor, 2021). در بازی ای بدون صفرچرخصفرخانه سبز تکی که هیچ شرط پول‌برابر، دوجین یا ستونی آن را نمی‌پوشاند؛ سرچشمه برتری کازینو. نام‌های دیگر: صفر تکی، 0.خواندن کامل ← 2q = 1، و میانگین هر دوره دقیقاً صفر است، نردبان هر قدر بلند باشد.
«مارتینگل بزرگ» پس از باخت مبلغ شرط را دو برابر میکند و یک واحدپولواحدمبلغ شرط پایه‌ای که یک سیستم یا بازیکن با آن کار میکند. تصاعدها با واحد توصیف می‌شوند تا در هر میزی کاربرد داشته باشند.خواندن کامل ← می‌افزاید، پس مبلغها 1، 3، 7، 15، 31 … پیش می‌روند. وقتی نخستین برد در شرط 1ام، 2ام، 3ام یا kام بیاید چقدر جلو هستید؟ با واحد $10 و حداکثر $500، یک دوره چند وقت یک بار می‌شکند، و یک دوره به‌طور میانگین چه هزینه‌ای دارد؟
نمایش راه‌حل
پاسخ بردی در شرط kام شما را k واحد جلو می‌گذارد: +1، +2، +3 و به همین ترتیب. با $10 و $500 دوره پس از پنج باخت می‌شکند، در 3.57% دوره‌ها، به مبلغ −$570. به‌طور میانگین یک دوره از $85.73 مبلغ شرط $2.32 می‌بازد: 2.70%.
مبلغ شرط kام 2ᵏ − 1 واحد است: 1، 3، 7، 15، 31. k − 1 مبلغ نخست روی هم 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 می‌شوند. بردی در شرط kام 2ᵏ − 1 میپردازد، پس دوره با (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k واحد جلو تمام می‌شود: یک واحد اضافه برای هر باخت پیش از برد.
با $10 برای هر واحد، مبلغها $10، $30، $70، $150 و $310 هستند؛ بعدی، $630، از حداکثر $500 بیشتر است. پنج باخت پیاپی، (19/37)⁵ = 3.57%، هزینه‌ای برابر 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 دارد.
میانگین: بردها با احتمال (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 برای k = 1 تا 5 مبلغ $10 × k می‌آورند، و شکست با احتمال 3.57% مبلغ $570 می‌برد؛ با هم −$2.32. پول شرط‌بسته‌شده به‌طور میانگین $85.73 در هر دوره است، و 2.32/85.73 = 2.70%. مارتینگل معمولی سر همان میز پس از شش باخت می‌شکند، در 1.83% دوره‌ها، به مبلغ −$630، و از $64.20 مبلغ شرط $1.74 می‌بازد: باز هم 2.70%.
بازیکنی قصد دارد مارتینگل را روی قرمز با شرط نخست $1 سر میزی بازی کند که محدودیتش $1,000 است، پس ده شرط ممکن است: $1، $2، $4 و به همین ترتیب تا $512. یک دوره چند وقت یک بار هر ده شرط را می‌بازد، این به‌طور میانگین چقدر طول می‌کشد، و یک شب 200 شرطی چند وقت یک بار این‌گونه تمام می‌شود؟
نمایش راه‌حل
پاسخ یک دوره حدود یک بار در 784 هر ده شرط را می‌بازد، که $1,023 هزینه دارد. این به‌طور میانگین حدود 1,600 شرط است، و یک شب 200 شرطی در حدود 11% موارد به دیوار می‌خورد. یک دوره باز هم به‌طور میانگین از $11.31 مبلغ شرط $0.31 می‌بازد: 2.70%.
شرط روی قرمز با احتمال 19/37، با احتساب صفر، می‌بازد. ده باخت پیاپی: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، حدود 1 در 784. مبلغ‌های 1 + 2 + 4 + … + 512 روی هم $1,023 می‌شوند.
یک دوره به‌طور میانگین 2.05 شرط طول می‌کشد، پس 784 دوره حدود 1,600 شرط می‌گیرند. با شمارش چرخش به چرخش، دنباله‌ای از ده باخت در 11.3% موارد جایی در 200 شرط پیدا می‌شود.
میان فاجعه‌ها بازیکن در هر دوره $1 می‌برد: حدود $783 پیش از دوره بد، سپس −$1,023، یعنی حدود −$240 در کل این بازه. در هر دوره: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. پول شرط‌بسته‌شده در هر دوره: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. و −0.31/11.31 = −2.70%.
مقایسه کنید با شرط نخست $10 و محدودیت $500، یعنی شش شرط: دیوار یک بار در 55 دوره می‌آید، و یک شب 200 شرطی در 84% موارد به آن می‌خورد. محدودیت بالاتر سقوط را نادرتر و بزرگتر میکند، نه ارزان‌تر.
چاشنی طنز
نادرتر و بزرگتر، در هر سقفی. حاصل‌ضرب ثابت است.
منابع
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.