مسئله: چرخ تولد
چند چرخش طول می‌کشد تا عددی تکرار شود؟ بسیار کمتر از آنچه بیشتر مردم حدس می‌زنند.
مسئله تولد روی چرخی با 37 خانهتجهیزاتخانهیکی از 37 محفظه شماره‌دار روی روتور. نام‌های دیگر: شیار، جام.خواندن کامل ←: تنها پس از 8 چرخش، احتمال اینکه عددی تا آن موقع دو بار آمده باشد بیش از نصف است. بازیکنان تکرارها را الگو می‌خوانند؛ آن‌ها رفتار مورد انتظار یک چرخ منصفانه‌اند.
مسئله
یک چرخ اروپایی منصفانه را بچرخانید. چند چرخش لازم است تا احتمالریاضیاحتمالشانس یک نتیجه، از 0 تا 1 یا از 0% تا 100%. یک شماره: 1/37 = 2.70%.خواندن کامل ← اینکه دست‌کم دو چرخش عدد یکسانی نشان داده باشند از نصف بیشتر شود؟ بیشتر بازیکنان حدود 18 یا 19، یعنی نصف 37، را حدس می‌زنند. پاسخ 8 است.
راه‌حل
احتمال اینکه هیچ تکراری نباشد را حساب کنید و از یک کم کنید. پس از k چرخش، p(همه متفاوت) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). برای k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44، پس p(تکراری رخ دهد) ≈ 0.56. برای k = 14 این مقدار 0.93 است؛ برای k = 20 برابر 0.996 است. شهود خطا می‌کند چون تعداد جفت‌چرخش‌ها مانند k² رشد می‌کند و هر جفتی میتواند یکسان باشد.
چرا سر میز اهمیت دارد
تابلوی نتایج 20 عدد آخر تقریباً همیشه دست‌کم یک تکرار نشان می‌دهد، اغلب دو یا سه. بازیکنان می‌بینند «17 در ده چرخش دو بار آمد» و نتیجه می‌گیرند 17 داغ است؛ حساب مسئله تولد می‌گوید تکرار در ده چرخش در 74% مواقع رخ می‌دهد و عدد تکرارشده تصادفی است. الگو واقعی است؛ معنایش نه.
مسئله بعدی
چند چرخش طول می‌کشد تا یک عدد مشخص، مثلاً 17، دو بار آمده باشد؟ این پرسشی دیگر با پاسخی بسیار بزرگ‌تر است: زمان انتظار مورد انتظار 74 چرخش است و احتمال دو بار آمدن 17 در 20 چرخش حدود 10% است. تفاوت میان «عددی تکرار می‌شود» (8 چرخش) و «این عدد تکرار می‌شود» (74 چرخش) همه تفاوت میان الگویی است که بعداً متوجهش می‌شوید و پیش‌بینی‌ای که از قبل می‌کنید.
امتحان کنید
بازی آزمایشی را ده چرخش اجرا کنید و به تاریخچه نگاه کنید. معمولاً تکراری خواهد بود. دوباره اجرایش کنید. عدد تکرارشده فرق خواهد کرد. ده بار این کار را بکنید و مسئله تولدریاضیمسئله تولداینکه چند نفر لازم است تا احتمالاً دو نفر روز تولد مشترک داشته باشند، یا چند چرخش لازم است تا شماره‌ای احتمالاً تکرار شود. روی چرخ 37 خانه‌ای، 8 چرخش برای احتمال بیش از نصف کافی است.خواندن کامل ← را دیده‌اید؛ هزار بار انجامش دهید (شبیه‌سازها می‌توانند) و آن را اندازه گرفته‌اید.
فرمول
پرسش‌ها
دقیقاً، با 37 خانه به جای 365 روز. 23 نفر برای تولدها 50% می‌دهند؛ 8 چرخش برای چرخ 56% می‌دهد.
50% پس از حدود 19 چرخش. باز هم امری عادی.
نه. هزاران چرخش از یک چرخ میتواند نشانه باشد؛ یک تکرار هرگز.
سرگرمی با ریاضی
اول خودتان امتحان کنید. هر راه‌حل بسته است؛ هر وقت آماده بودید بازش کنید.
تابلوی نتایج کنار یک چرخ آمریکایی 16 چرخش آخر را نشان می‌دهد. چقدر محتمل است که هیچ شماره‌ای دو بار روی آن نیامده باشد؟
نمایش راه‌حل
پاسخ حدود 2.5%: تقریباً از هر 40 تابلو، 39 تابلو دست‌کم یک تکرار نشان می‌دهند.
چرخش به چرخش پیش بروید. چرخش اول میتواند هر چیزی باشد. چرخش دوم باید با آن فرق کند: 37 شانس از 38. سومی باید با هر دو فرق کند: 36 از 38. شانزدهمی باید با پانزده شماره فرق کند: 23 از 38.
ضرب کنید: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
تابلوی بدون تکرار حالت کمیاب است. تابلویی با تکرار چیزی درباره چرخ نمی‌گوید.
در ده چرخش یک چرخ اروپایی، احتمال اینکه 17 دقیقاً پنج بار بیاید چقدر است؟ اینکه یک شماره، هر شماره‌ای، پنج بار یا بیشتر بیاید؟ و اینکه یک شماره در چهار چرخش دست‌کم سه بار بیاید؟
نمایش راه‌حل
پاسخ 17 دقیقاً پنج بار: 1 در 315,576. یک شماره پنج بار یا بیشتر: حدود 1 در 8,333. یک شماره سه بار یا بیشتر در چهار چرخش: 1 در 349.
17 پنج بار: انتخاب کنید کدام پنج چرخش از ده، 252 راه، هرکدام با احتمال (1/37)⁵ × (36/37)⁵. روی هم، 1 در 315,576.
یک شماره: هرکدام از 37 شماره شانسی 1 در 308,325 برای پنج بار آمدن یا بیشتر دارد، که 37 در 308,325، یعنی 1 در 8,333، می‌دهد. حالت کمیاب دو شماره که هرکدام پنج بار بیایند دو بار شمرده می‌شود، اما کنار گذاشتن آن در این دقت چیزی را تغییر نمی‌دهد.
سه بار در چهار چرخش: برای یک شماره، 4 × 36 + 1 = 145 از 37⁴ نتیجه ممکن؛ برای هرکدام از 37 شماره، 145/37³ = 1 در 349.
برای چرخ صفرچرخصفرخانه سبز تکی که هیچ شرط پول‌برابر، دوجین یا ستونی آن را نمی‌پوشاند؛ سرچشمه برتری کازینو. نام‌های دیگر: صفر تکی، 0.خواندن کامل ← دوتایی، ارقام متناظر 1 در 359,275، 1 در 9,243 و 1 در 368 هستند. فاصله میان «17» و «یک شماره» دوباره همان مسئله تولدریاضیمسئله تولداینکه چند نفر لازم است تا احتمالاً دو نفر روز تولد مشترک داشته باشند، یا چند چرخش لازم است تا شماره‌ای احتمالاً تکرار شود. روی چرخ 37 خانه‌ای، 8 چرخش برای احتمال بیش از نصف کافی است.خواندن کامل ← است: 37 راه برای غافلگیر شدن وجود دارد.
چاشنی طنز
چیزی زود تکرار می‌شود. آن چیز تصادفی است.
منابع
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”، پرسش‌های مربوط به رولت.