خطر ورشکستگی
احتمال از دست دادن کل سرمایه بازی پیش از رسیدن به هدف.
برای شرطهای پولبرابر، خطر ورشکستگی از فرمول ورشکستگی قمارباز پیروی میکند. با سرمایه بازی $500، شرطهای $10 و هدف $600، حدود 57% مواقع به هدف می‌رسید و در بقیه موارد ورشکست می‌شوید.
پرسش
شما a واحدپولواحدمبلغ شرط پایه‌ای که یک سیستم یا بازیکن با آن کار میکند. تصاعدها با واحد توصیف می‌شوند تا در هر میزی کاربرد داشته باشند.خواندن کامل ← سرمایه بازیپولسرمایه بازیکل مبلغی که برای بازی کنار گذاشته شده است. مدیریت سرمایه بازی یعنی تصمیم‌گیری درباره مقدار ریسک آن در هر شرط و هر جلسه.خواندن کامل ← دارید و می‌خواهید به a + b واحد برسید، با شرط بستن هر بار یک واحد روی یک شرط پول‌برابرشرطشرط پول‌برابرقرمز/سیاه، فرد/زوج، بالا/پایین. 18 شماره، با پرداخت 1:1.خواندن کامل ← با احتمالریاضیاحتمالشانس یک نتیجه، از 0 تا 1 یا از 0% تا 100%. یک شماره: 1/37 = 2.70%.خواندن کامل ← برد p = 18/37 و احتمال باخت q = 19/37. شانس اینکه پیش از رسیدن به صفر به هدف برسید چقدر است؟ پاسخ را پاسکال، فرما و هویگنس در دهه 1650 به دست آوردند و یکی از قدیمی‌ترین نتایج نظریه احتمال است.
فرمول ورشکستگی قمارباز
P(رسیدن به هدف) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). خطر ورشکستگیریاضیخطر ورشکستگیاحتمال ازدست‌دادن تمام سرمایه بازی پیش از رسیدن به هدف یا شمار چرخش مشخص.خواندن کامل ← یک منهای این مقدار است. با q/p = 19/18 ≈ 1.0556، این نسبت با تعداد واحدها به‌صورت نمایی رشد میکند، پس فرمول واحدهای کوچک را بهشدت جریمه میکند: هرچه برای رسیدن به هدف شرطهای بیشتری لازم باشد، عوارض 2.70% دفعات بیشتری در طول راه پرداخت می‌شود.
خواندن آن
واحدهای کوچک‌تر آسیب می‌زنند. تلاش برای دو برابر کردن $500 با شرطهای $10 در 6% مواقع موفق می‌شود؛ با یک شرط $500 در 48.6% مواقع. بازی جسورانه، یعنی شرطهای کمتر و بزرگتر، شانس رسیدن به هدف را در بازی‌ای با ارزش مورد انتظار منفی بیشینه میکند، چون تعداد دفعاتی را که برتری اعمال می‌شود کمینه میکند. همچنین واریانسریاضیواریانسسنجشی از میزان پراکندگی نتایج پیرامون ارزش مورد انتظار. برای تکعدد زیاد و برای شرطهای پولبرابر کم است.خواندن کامل ← آنچه بر سر شما می‌آید را بیشینه میکند، و شب را زود تمام میکند. این قضیه «بازی جسورانه بهینه است» نام دارد و Dubins و Savage آن را در 1965 اثبات کردند.
مسئله از کجا آغاز شد
این پرسش از رولت قدیمی‌تر است. در 1656 پاسکال معمایی پیش روی فرما گذاشت: دو بازیکن سه تاس می‌ریزند و هرکدام با 12 مهره شروع می‌کنند؛ پرتاب 11 یک مهره را به یک سو می‌برد و پرتاب 14 به سوی دیگر. هر دو آن را حل کردند، و هویگنس، که از طریق نامهای از ریاضی‌دان پیر دو کارکاوی از آن باخبر شد، آن را در 1657 به‌عنوان مسئله پنجم نخستین کتاب درباره احتمال، با پاسخ و بدون اثبات، چاپ کرد. یازده را می‌توان به 27 حالت آورد و چهارده را فقط به 15 حالت، پس هر مهره در 9 بار از 14 بار به سوی بازیکن نخست می‌رود، و فرمول بالا، با 12 مهره برای هرکدام، احتمال اینکه او همه چیز را ببرد حدود 1,157 برابر احتمال باختن همه چیز میکند. برتری 2.70% بسیار کوچک‌تر است، اما همین فرمول نشان میدهد که در شرطهای بسیار چه میکند.
یک شرط جسورانه واقعی
در آوریل 2004، اشلی رِوِل، جوانی انگلیسی، تقریباً هر چه داشت، حتی لباس‌هایش را، فروخت و $135,300 به Plaza در لاس‌وگاس برد. پس از چند شرط کوچک، کل مبلغ را یک بار روی قرمزشرطقرمزشرط پولبرابر روی 18 شماره قرمز. فرانسوی: rouge.خواندن کامل ← گذاشت. توپتجهیزاتتوپتوپ کوچک که خلاف روتور در مسیر پرتاب می‌شود. توپ‌های مدرن از ایورین یا تفلون و به‌اندازه 18–21 mm هستند.خواندن کامل ← روی 7 قرمز نشست و او با $270,600 بیرون رفت. روی یک چرخ با صفرچرخصفرخانه سبز تکی که هیچ شرط پولبرابر، دوجین یا ستونی آن را نمی‌پوشاند؛ سرچشمه برتری کازینو. نامهای دیگر: صفر تکی، 0.خواندن کامل ← دوتایی، آن تک‌چرخش شانسی 47.37% بود و به‌طور میانگین $7,121 برایش هزینه داشت، یعنی برتری 5.26% روی یک شرط. اگر همین مبلغ در شرطهای $10 پخش می‌شد، رسیدن به همان هدف تقریباً بی‌امید می‌بود. بازی جسورانه شرط را خوب نمی‌کند؛ آن را تا حد ممکن کوتاه میکند.
خطر ورشکستگی بدون هدف
اگر صرفاً تا ورشکستگی بازی کنید یا پس از N چرخش دست بکشید، پرسش این می‌شود: «شانس اینکه سرمایه بازی‌ام در N چرخش به صفر برسد چقدر است؟». برای N کلی فرمول بسته‌ای وجود ندارد، اما شبیه‌سازهای این سایت آن را محاسبه می‌کنند: سرمایه بازی $500 با $10 روی قرمز در 100 چرخش تقریباً هرگز ورشکست نمی‌شود (کمتر از 1%)، در 500 چرخش حدود 9% مواقع ورشکست می‌شود، و در 5,000 چرخش حدود 95% مواقع. بدون قاعده توقف، این احتمال به 100% میل میکند، که نسخه بلندمدت برتری کازینوریاضیبرتری کازینوسهمی از هر مبلغ شرط که کازینو به‌طور میانگین نگه می‌دارد: 2.70% در رولت اروپایی.خواندن کامل ← است.
- p10 −$500
- p25 −$500
- میانه −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
چه مدت، و چقدر جلو
دو نتیجه کلاسیک دیگر به پرسش‌هایی پاسخ می‌دهند که بازیکنان واقعاً می‌پرسند. بدون هدف، شرطهای ثابت پولبرابر روی چرخ اروپایی به‌طور میانگین به ازای هر واحد سرمایه بازی 37 چرخش دوام می‌آورند و روی چرخ آمریکایی 19 چرخش، چون هر چرخش به‌طور میانگین 1/37 واحد می‌برد (روی چرخ آمریکایی 1/19): 100 واحد به‌طور میانگین 3,700 چرخش دوام می‌آورد، هرچند نیمی از چنین جلسه‌هایی ظرف 3,134 چرخش تمام می‌شوند (طول و هزینه جلسه را ببینید). و هر قدر هم سرمایه بازی بزرگ باشد، شانس اینکه روی چرخ اروپایی روزی k واحد جلو باشید (18/19)ᵏ است. این برای یک واحد 95% و برای ده واحد 58% است، اما هیچ سرمایه بازی‌ای، هر قدر هم عمیق، شانس برابر برای اینکه روزی 13 واحد جلو باشید نمی‌دهد؛ روی چرخ آمریکایی این شانس (9/10)ᵏ است و در 7 واحد به زیر نصف می‌رسد.
سرمایه بازی برای شانس پنجاه‌پنجاه
پرسش را برگردانید: چقدر باید همراه بیاورید تا دست‌کم شانس پنجاه‌پنجاهی داشته باشید که مبلغ معینی را پیش از باختن همه چیز ببرید؟ برای بردی کوچک، نه چندان زیاد. برای بردی بزرگتر، سرمایه بازی لازم به‌تندی بالا می‌رود، و از یک نقطه به بعد هیچ سرمایه بازی‌ای کافی نیست، چون حتی سرمایه‌ای بی‌پایان هم کمتر از شانس پنجاه‌پنجاه برای اینکه روزی آن‌قدر جلو بیفتید میدهد. Taylor (2021) آن را به شکل دیگری بیان میکند: روی چرخ آمریکایی، برای داشتن شانس پنجاه‌پنجاه رسیدن به 100 واحد باید با 94 شروع کنید، یعنی 94 را به خطر بیندازید تا 6 ببرید. روی چرخ اروپایی به 88 نیاز دارید.
درس عملی
تصمیم بگیرید که می‌خواهید چه کنید. اگر هدف بردی مشخص است، بزرگ و کم شرط ببندید. اگر هدف شبی طولانی است، کوچک شرط ببندید و بپذیرید که برتری کازینو 2.70% خود را از گردش شرطپولگردش شرطکل مبلغ شرط‌بندی‌شده در یک جلسه یا دوره، با احتساب بردهای شرط‌بندی‌شده دوباره. نامهای دیگر: handle، action.خواندن کامل ← بزرگی برمی‌دارد. اگر هدف هر دو است، باید از یکی گذشت، و معمولاً آن یکی هدف است.
فرمول
پرسش‌ها
مارتینگلراهبردمارتینگلتصاعدی که پس از هر باخت، مبلغ شرط را دوبرابر میکند. بخش «راهبردهای شرط‌بندی رولت» را برای آنچه انجام میدهد و نمی‌دهد ببینید.خواندن کامل ← آن را برای جلسههای کوتاه کم و برای جلسههای طولانی بهشدت زیاد میکند. شرط ثابتراهبردشرط ثابتشرط‌بستن با مبلغ یکسان در هر چرخش. مبنایی که هر تصاعد با آن مقایسه می‌شود.خواندن کامل ← با واحدی بزرگتر راه صادقانه کم کردن آن است.
فرمول بالا برای پولبرابر است. برای شرطهای پرواریانس، ورشکستگی با مبلغهای شرط کوچک محتملتر است و رسیدن به هدف ناهموارتر رخ میدهد؛ از ماشینحساب استفاده کنید.
هر گام به سوی هدف کمی کمتر از هر گام به سوی ورشکستگی محتمل است؛ این نسبت در طول تعداد گام‌ها انباشته می‌شود.
سرگرمی با ریاضی
اول خودتان امتحان کنید. هر راه‌حل بسته است؛ هر وقت آماده بودید بازش کنید.
شما $100 دارید و $1,000 می‌خواهید، و فقط روی قرمزشرطقرمزشرط پولبرابر روی 18 شماره قرمز. فرانسوی: rouge.خواندن کامل ← شرط می‌بندید. نقشه یک: هر بار $1 شرط ببندید. نقشه دو: هر چه دارید شرط ببندید تا از $500 بگذرید، سپس فقط به اندازه‌ای که به $1,000 برسید. کدام نقشه بهتر است، و چقدر؟
نمایش راه‌حل
پاسخ نقشه دو، با فاصله بسیار. حدود 9.0% موارد به $1,000 می‌رسد، نزدیک به 10% منصفانه. نقشه یک حدود 7 بار در 10²² موفق می‌شود.
در یک بازی منصفانهریاضیبازی منصفانهبازی‌ای که هیچ طرفی در آن برتری ندارد: هر شرط ارزش مورد انتظار صفر دارد.خواندن کامل ← هر کاری می‌کردید از $100 یک بار در ده بار به $1,000 می‌رسیدید، چون ارزش میانگین پولتان در $100 می‌ماند.
برتری 2.70% از هر شرط را می‌گیرد، پس هر چه در مجموع کمتر شرط ببندید، به یک در ده نزدیک‌تر می‌مانید. نقشه دو کار را در چند شرط یکسره میکند: $100 می‌شود $200، $400، $800، و سپس $200 کافی است. حدود 9.0% موارد موفق می‌شود. نقشه یک پیش از پایان مسیر هزاران شرط می‌گیرد، و برتری، که روی هر شرط کوچک است، روی هم به ورشکستگی تقریباً حتمی می‌رسد.
این نتیجه دوبینز–سویج در ساده‌ترین شکل آن است (Epstein, 2013): در بازی‌ای که به سود کازینوست، به اندازه‌ای که لازم دارید و به دفعات هر چه کمتر شرط ببندید.
شما $500 دارید و $1,000 می‌خواهید، و به محض رسیدن به آن دست می‌کشید. یک نوع شرط را انتخاب می‌کنید و آن را تکرار می‌کنید تا یک بار ببرد یا پول تمام شود. کدام نوع بهترین شانس را میدهد؟
نمایش راه‌حل
پاسخ یک شرط $500 روی قرمز: 48.6%. هر نقشه‌ای که پول را میان شرطهای کوچک‌تر پخش کند بدتر عمل میکند.
هر مبلغ شرط را طوری انتخاب کنید که یک برد کافی باشد: $30 روی یک تک‌عددشرطتک‌عددیک شماره، با پرداخت 35:1.خواندن کامل ← $1,050 می‌برد، $60 روی یک دوتاییشرطدوتاییدو شماره مجاور، با پرداخت 17:1.خواندن کامل ← $1,020، و به همین ترتیب. سپس احتمال این را بشمارید که دست‌کم یک شرط پیش از تمام‌شدن پول ببرد. شانزده تکعدد $30 با احتمال (36/37)¹⁶ = 64.5% همه می‌بازند، پس 35.5% موارد به $1,000 می‌رسند.
جدول هر شرط را نشان میدهد. قرمز بهترین است چون با یک شرط به هدف می‌رسد، پس برتری یک بار پرداخت می‌شود، روی $500. شش‌خطیشرطشش‌خطیشش شماره در دو ردیف مجاور، با پرداخت 5:1. فرانسوی: sixain.خواندن کامل ← دوم است چون تنها سه شرط لازم دارد. یک شرط دوجینشرطدوجین1–12، 13–24 یا 25–36، با پرداخت 2:1.خواندن کامل ← تکی بدترین است، با شانس 12/37؛ حتی اگر با واحدهایپولواحدمبلغ شرط پایه‌ای که یک سیستم یا بازیکن با آن کار میکند. تصاعدها با واحد توصیف می‌شوند تا در هر میزی کاربرد داشته باشند.خواندن کامل ← $250 بازی شود تا $1,000 یا بیشتر داشته باشید، دوجین تنها در 46.4% موارد به هدف می‌رسد.
Bollman (2024) همین جدول را برای چرخ آمریکایی می‌سازد. ردیف دوجین او یک لغزش دارد: باید 12/38 = 31.6% باشد.
شرطمبلغ شرط × تعداد شرطشانس رسیدن به $1,000تکعدد$30 × 1635.5%دوتایی$60 × 835.9%ردیف$90 × 534.5%گوشه$125 × 436.7%شش‌خطی$166, $166, $16841.2%دوجین$500 × 132.4%قرمز$500 × 148.6%شما چرخش پس از چرخش یک واحد روی قرمز شرط می‌بندید، با سرمایه بازی‌ایپولسرمایه بازیکل مبلغی که برای بازی کنار گذاشته شده است. مدیریت سرمایه بازی یعنی تصمیم‌گیری درباره مقدار ریسک آن در هر شرط و هر جلسه.خواندن کامل ← که هرگز تمام نمی‌شود. پس از چرخش اول یک واحد جلو یا یک واحد عقب هستید. احتمال اینکه زمانی دوباره دقیقاً سر به سر شوید چقدر است؟
نمایش راه‌حل
پاسخ 36 در 37، یعنی 97.3%. روی چرخ آمریکایی 36 در 38 است، یعنی 94.7%.
اگر چرخش اول ببرد (18 بار در 37)، یک واحد جلو هستید، و برتری هر جلسه بی‌پایانی را پایین می‌کشد، پس دیر یا زود دوباره از سر به سر می‌گذرید: این قطعی است. اگر ببازد (19 بار در 37)، باید یک واحد بالا بروید، و احتمال اینکه زمانی یک واحد جلو باشید 18/19 است (جدول بالا را ببینید).
با هم: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
به‌طور کلی این احتمال برابر است با 1 منهای فاصله میان احتمال بردن و باختن یک چرخش: 1 − 1/37 روی چرخ اروپایی، 1 − 2/38 روی چرخ آمریکایی. در بازی‌ای بدون صفرچرخصفرخانه سبز تکی که هیچ شرط پولبرابر، دوجین یا ستونی آن را نمی‌پوشاند؛ سرچشمه برتری کازینو. نامهای دیگر: صفر تکی، 0.خواندن کامل ← این فاصله صفر است و احتمال 1: امتیاز همیشه به سر به سر بازمی‌گردد. Epstein (2013) قاعده کلی را میدهد.
معمای پاسکال در 1656: دو بازیکن سه تاس می‌اندازند و هرکدام با 12 مهره شروع می‌کنند. هر 11 یک مهره را به بازیکن اول میدهد، هر 14 یک مهره را به دومی؛ پرتاب‌های دیگر به حساب نمی‌آیند. احتمال اینکه بازیکن اول هر 24 مهره را ببرد چقدر است؟ و اگر به جای آن در هر چرخش 1 واحد روی قرمز در برابر دوستی شرط ببندید که نقش بانک را دارد، هرکدام با 12 واحد، احتمال اینکه هر 24 واحد را ببرید چقدر است؟
نمایش راه‌حل
پاسخ بازیکن اول حدود 1,157 بار در 1,158 بار می‌برد. شما، روی قرمز، تنها در حدود 34% موارد هر 24 واحد را می‌برید.
سه تاس 11 را به 27 حالت و 14 را به 15 حالت می‌سازند، پس هر مهره‌ای که جابه‌جا می‌شود 27 بار در 42، یعنی 9 بار در 14، به بازیکن اول می‌رسد. وقتی هر طرف با 12 شروع میکند، احتمال گرفتن همه‌چیز 1/(1 + r¹²) است، که r نسبت شانس طرف مقابل به شانس شماست.
برای بازیکن اول r = 5/9، و (5/9)¹² ≈ 0.00086، پس احتمال حدود 0.99914 است: نسبت 9¹² به 5¹²، یعنی 282,429,536,481 به 244,140,625، حدود 1,157 به 1. هویگنس دقیقاً همین اعداد را در 1657 چاپ کرد.
روی قرمز، به دلیل صفر r = 19/18، و (19/18)¹² ≈ 1.913: شانس شما 1/2.913 ≈ 34.3% است. یک سکه 50% می‌داد. برتری 2.70% روی هر شرط، در شرطهای بسیاری که لازم است، به فاصله‌ای 16 واحد درصدی می‌رسد.
چاشنی طنز
بازی جسورانه بهینه است. زود هم تمام می‌شود.
منابع
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. نامه به هویگنس، 28 سپتامبر 1656، درباره مسئله‌ای که پاسکال پیش روی فرما گذاشت.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. «Briton bets it all on roulette spin, and wins».
- Las Vegas Sun. «Man wagers life’s worth».