مغالطه قمارباز
این باور که نتیجه‌ای «نوبتش رسیده» چون مدتی است نیامده.
پس از ده قرمز، احتمال سیاه هنوز 18/37 است. چرخ هیچ سابقه‌ای نگه نمی‌دارد و به کسی بدهکار نیست.
مغالطه
اگر قرمزشرطقرمزشرط پول‌برابر روی 18 شماره قرمز. فرانسوی: rouge.خواندن کامل ← ده بار آمده باشد، بسیاری از بازیکنان حس می‌کنند سیاهشرطسیاهشرط پول‌برابر روی 18 شماره سیاه. فرانسوی: noir.خواندن کامل ← «نوبتش رسیده» و بر همین اساس شرط می‌بندند. دیگران حس می‌کنند قرمز «داغ» است و روی آن شرط می‌بندند. هر دو گروه از توالی‌ای که تمام شده درباره چرخشی که هنوز رخ نداده نتیجه می‌گیرند. توپتجهیزاتتوپتوپ کوچک که خلاف روتور در مسیر پرتاب می‌شود. توپ‌های مدرن از ایورین یا تفلون و به‌اندازه 18–21 mm هستند.خواندن کامل ← نمی‌داند ده چرخش گذشته چه بوده‌اند؛ خانه‌هاتجهیزاتخانهیکی از 37 محفظه شماره‌دار روی روتور. نام‌های دیگر: شیار، جام.خواندن کامل ← همان اندازه‌ای را دارند که یک ساعت پیش داشتند؛ احتمالریاضیاحتمالشانس یک نتیجه، از 0 تا 1 یا از 0% تا 100%. یک شماره: 1/37 = 2.70%.خواندن کامل ← سیاه مثل همیشه 18/37 است.
چرا درست به نظر می‌رسد
در بلندمدت، نسبت قرمز و سیاه واقعاً به 18/37 برای هرکدام همگرا می‌شود. قانون اعداد بزرگریاضیقانون اعداد بزرگمیانگین نتایج مستقل با افزایش شمار آزمون‌ها به ارزش مورد انتظار همگرا می‌شود.خواندن کامل ← این را تضمین میکند. اما همگرایی با رقیق شدن رخ می‌دهد، نه با جبران: پس از 1,000 چرخش دیگر، آن ده قرمز اضافه در نسبت به خطایی در حد گرد کردن تبدیل میشوند، نه چون سیاه عقب‌ماندگی را جبران کرده، بلکه چون نمونه بزرگ‌تر شده است. هیچ سازوکاری سیاه را محتمل‌تر نمی‌کند، و قانون اعداد بزرگ هم به چنین سازوکاری نیاز ندارد.
مونت‌کارلو، 18 اوت 1913
سیاه سر یک میز در کازینو دو مونت‌کارلو 26 بار پیاپی آمد. از حدود پانزدهمین سیاه، بازیکنان روی قرمز هجوم آوردند و مبلغ شرط را دو برابر و باز دو برابر کردند، هر چرخش «قطعی‌تر» از قبلی. کازینو میلیون‌ها فرانک برد. احتمال این رشته از نخستین سیاه 1 در 137 میلیون بود، و احتمال اینکه سرانجام جایی در کازینوهای جهان رخ دهد عملاً یک بود. به همین دلیل مغالطه قمارباز را مغالطه مونت‌کارلو هم می‌نامند.
چیز قابل توجهی نیست. از هر 44 بار یک بار رخ می‌دهد.
بازیکنان کم‌کم متوجه میشوند. قرمز «نوبتش رسیده».
میز شلوغ است. مبلغ شرط‌ها روی قرمز پس از هر باخت دو برابر می‌شود.
ثروت‌هایی از دست می‌رود. هر سیاه تازه قرمز را قطعی‌تر جلوه می‌دهد.
رشته پایان می‌یابد. کازینو میلیون‌ها فرانک از کسانی برده که علیه رشته‌ای شرط می‌بستند که نمی‌توانست «بداند» رشته است.
دست داغ
شرط بستن روی یک رنگ چون در رشته است، همان اشتباه است از سوی دیگر: انتظار می‌رود رشته ادامه یابد، نه اینکه تمام شود. روان‌شناسان آن را دست داغباوردست داغباور به اینکه یک رشته برد، یا یک نتیجه، نتیجه مشابه دیگری را محتمل‌تر میکند. پشت چرخ، همان مغالطه قمارباز از سمت دیگر است.خواندن کامل ← می‌نامند، به پیروی از پژوهشی در 1985 از Gilovich، Vallone و Tversky که در پرتاب‌های بسکتبال دنبال رشته‌ها گشت و چیزی فراتر از شانس نیافت. در 2018، Miller و Sanjurjo نشان دادند که خود آزمون کج بوده است: در یک سابقه کوتاه، سهم موفقیت‌ها درست پس از یک موفقیت به‌طور میانگین کمتر از نرخ کلی پرتاب‌کننده درمی‌آید، پس بازیکنی که اصلاً دست داغ ندارد کمی سرد به نظر می‌رسد. با اصلاح، همان داده‌ها دست داغ متوسطی نشان می‌دهند. انسان می‌تواند گرم شود؛ چرخ حال و روزی ندارد که در آن باشد. برخی بازیکنان هر دو باور را با هم دارند: رشته ادامه می‌یابد تا وقتی «بیش از حد طولانی» شود و آنگاه تمام می‌شود. روی یک چرخ منصفانه، همه این نسخه‌ها همان ارزش مورد انتظارریاضیارزش مورد انتظارمیانگین نتیجه هر شرط در بلندمدت. برای هر شرط استاندارد اروپایی برابر با −1/37 مبلغ شرط است.خواندن کامل ← انتخاب رنگ با شیر یا خط را دارند: −2.70% از مبلغ شرط.
سر یک میز واقعی
Croson و Sundali (2005) 18 ساعت ویدئوی امنیتی از یک میز با صفرچرخصفرخانه سبز تکی که هیچ شرط پول‌برابر، دوجین یا ستونی آن را نمی‌پوشاند؛ سرچشمه برتری کازینو. نام‌های دیگر: صفر تکی، 0.خواندن کامل ← دوتایی در کازینویی بزرگ در رینو را تماشا کردند: 139 بازیکن که 24,131 شرط بستند. روی شرط‌های پول‌برابرشرطشرط پول‌برابرقرمز/سیاه، فرد/زوج، بالا/پایین. 18 شماره، با پرداخت 1:1.خواندن کامل ←، بازیکنان تقریباً به‌طور مساوی میان دنبال کردن رشته‌های کوتاه و مخالفت با آن‌ها تقسیم شده بودند. پس از پنج نتیجه یکسان پیاپی به مخالفت با رشته متمایل شدند، و پس از شش یا بیشتر، 85% شرط‌هایشان روی طرف مقابل بود. همین بازیکنان درباره خودشان دست داغ نشان دادند: پس از یک برد روی شماره‌ها، در چرخش بعد به‌طور میانگین 13.6 شماره را پوشش دادند، در برابر 9.2 پس از یک باخت. چرخ آن‌ها هیچ نشانی از سوگیری نداشت، پس هیچ‌یک از این‌ها چیزی را که هرکدام می‌توانستند انتظار داشته باشند تغییر نداد.
بیرون از کازینو
همین کشش جایی هم دیده می‌شود که تصمیم‌های واقعی گرفته می‌شود. Clotfelter و Cook (1993) بازی روزانه اعداد مریلند را دنبال کردند: مبلغی که روی یک عدد شرط بسته می‌شد، به‌محض قرعه‌کشی آن به‌شدت افت می‌کرد و ماه‌ها طول می‌کشید تا بازگردد، هرچند قرعه‌کشی حافظه‌ای ندارد. Chen، Moskowitz و Shue (2016) آن را در میان حرفه‌ای‌ها یافتند. احتمال اینکه قضات پناهندگی ایالات متحده پرونده‌ای را رد کنند، اگر پرونده قبلی را پذیرفته بودند، تا 3.3 واحد درصد بیشتر بود. احتمال اینکه داوران بیسبال پس از اعلام یک استرایک باز استرایک اعلام کنند 1.5 واحد کمتر بود، و در پرتاب‌های مرزی بیش از دو برابر این مقدار. در یک آزمایش میدانی با کارشناسان وام که دستمزد ثابت می‌گرفتند، تا 9% تصمیم‌ها به این شکل وارونه شد. پرونده‌ها به ترتیب تصادفی می‌رسیدند، پس تصمیم قبلی چیزی درباره بعدی نمی‌گفت، درست همان‌طور که چرخش قبلی چیزی درباره چرخش بعدی نمی‌گوید.
مغالطه وارونه قمارباز
فیلسوف Ian Hacking (1987) نسخه سومی را نام‌گذاری کرد. کسی وارد اتاقی می‌شود، می‌بیند یک جفت تاس جفت‌شش آمده و نتیجه می‌گیرد که حتماً پیش‌تر بارها ریخته شده‌اند. احتمال جفت‌شش در هر پرتاب یکسان است، چه نخستین پرتاب شب باشد چه هزارمین، پس آن صحنه چیزی درباره مدت جریان بازی نمی‌گوید. در رولت، این همان بازیکنی است که به تابلویی می‌رسد که هشت قرمز نشان می‌دهد و نتیجه می‌گیرد که میز حتماً ساعت‌ها چرخیده تا آن‌ها را بسازد. مغالطه معمولی گذشته را به چرخش بعدی تعمیم می‌دهد؛ این یکی صحنه‌ای نادر را به گذشته‌ای تعمیم می‌دهد که کسی ندیده است.
روان‌شناسی که به آن باور داشت
این مغالطه مدافعان دانشمند هم داشته است. روان‌شناس آلمانی کارل ماربه چهار دفتر ثبت، هرکدام با 49,152 تولد، را بررسی کرد، دریافت که طولانی‌ترین رشته پسرها یا دخترها پشت سر هم 17 بوده، و نتیجه گرفت که رشته‌های طولانی کمیاب‌تر از آن‌اند که شانس اجازه می‌دهد، پس یک رشته نتیجه مقابل را محتمل‌تر میکند. شانس به‌تنهایی چیز دیگری می‌گوید: در 196,608 تولد، رشته‌ای 17تایی یا طولانی‌تر حدود چهار بار از هر پنج بار پیدا می‌شود. آنچه ماربه یافته بود دقیقاً همان شکلی است که یک توالی تصادفی دارد. Epstein (2013) این ماجرا را بازگو میکند؛ احتمال رشته‌ها در رولت نسخه رولتی آن را می‌دهد.
جایی که مغالطه صدق نمی‌کند
اگر چرخ از نظر فیزیکی سوگیر بود، چرخش‌های گذشته اطلاعاتی می‌دادند، چون شاهدی درباره خانه‌ها بودند نه درباره شانس. این موضوع آزمایشگاه رولت است، و برای گفتن هر چیزی هزاران چرخش از یک چرخ مشخص لازم دارد. برای ده قرمز پیاپی روی یک چرخ ناشناخته، توضیح سوگیری بسیار کمتر از توضیح شانس محتمل است.
پرسش‌ها
نه. درباره هر رویداد تکراری مستقلی صدق میکند: تاس، سکه، اعداد لاتاری.
نسبتها به هم نزدیک میشوند. نتیجه شما همچنان حدود −2.70% از مبلغی است که شرط بستهاید.
قانون میانگینها وجود ندارد. قانون اعداد بزرگ وجود دارد، و با رقیق شدن عمل میکند.
سرگرمی با ریاضی
اول خودتان امتحان کنید. هر راه‌حل بسته است؛ هر وقت آماده بودید بازش کنید.
پس از 10 بار انداختن، یک سکه 7 شیر و 3 خط نشان می‌دهد. پس از 1,000 بار انداختن، 517 شیر و 483 خط. آیا خط‌ها عقب‌ماندگی را جبران کردند؟
نمایش راه‌حل
پاسخ نه. فاصله از 4 به 34 رسید. فقط نسبت به برابری نزدیک‌تر شد.
نسبت شیر به خط از 7/3، حدود 2.33، به 517/483، حدود 1.07، کاهش یافت. این قانون اعداد بزرگریاضیقانون اعداد بزرگمیانگین نتایج مستقل با افزایش شمار آزمون‌ها به ارزش مورد انتظار همگرا می‌شود.خواندن کامل ← در عمل است.
فاصله میان آن‌ها بیشتر شد، از 4 به 34. با یک سکه منصفانه، فاصله‌ای در حدود 30 پس از 1,000 بار انداختن عادی است: فاصله معمول تقریباً به نسبت جذر تعداد پرتاب‌ها رشد میکند، در حالی که نسبت به سوی 1 میل میکند.
هیچ چیز خط‌ها را به سوی برابری نکشاند. مازاد اولیه شیرها با 990 پرتاب بعدی رقیق شد، نه اصلاح.
یک سکه را چهار بار بیندازید و فقط به پرتاب‌هایی نگاه کنید که درست پس از یک شیر می‌آیند. چه سهمی از آن‌ها شیر است؟ این را برای هر یک از 16 دنباله ممکن حساب کنید و میانگین سهم‌ها را بگیرید. آیا 50% است؟
نمایش راه‌حل
پاسخ نه. 17/42، حدود 40.5%، است. با این شیوه نگاه، یک سکه منصفانه پس از یک شیر سرد به نظر می‌رسد.
16 دنباله را فهرست کنید (H شیر و T خط). دو تا از آن‌ها، TTTT و TTTH، در سه پرتاب اول هیچ شیری ندارند، پس هیچ پرتابی پس از شیر نمی‌آید؛ 14 دنباله می‌ماند.
در هرکدام، پرتاب‌هایی را که پس از یک شیر می‌آیند بگیرید و سهم شیرها را پیدا کنید. HHHH از 3، 3 شیر می‌دهد. HHHT از 3، 2. HTHT از 2، 0. با بررسی هر 14 دنباله: شش دنباله 0 می‌دهند، چهار دنباله 1/2، یکی 2/3 و سه دنباله 1 (HHHH، THHH و TTHH).
سهم‌ها را جمع کنید: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. بر 14 تقسیم کنید: 17/42 ≈ 40.5%.
هیچ پرتابی به سود خط نیست؛ هرکدام 50–50 است. این کجی از میانگین‌گیری دنباله به دنباله می‌آید: دنباله‌ای پر از شیر پرتاب‌های زیادی برای نگاه کردن دارد اما فقط یک بار حساب می‌شود، همانند دنباله‌ای که تنها یک پرتاب برای نگاه کردن دارد. Miller و Sanjurjo (2018) نشان دادند که پژوهش «دست داغ» در 1985 بازیکنان بسکتبال را به همین شیوه سنجیده بود، پس بازیکنانی که به نظر نمی‌رسید بیش از شانس صرف رشته‌های پیاپی بسازند، در واقع تا حدی بیشتر چنین می‌کردند.
چاشنی طنز
رقیق شدن، نه جبران. چرخ به کسی بدهکار نیست.
منابع
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. «The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos».
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. «Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires».
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. «The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play».
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. «The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences».
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. «Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers».
- Hacking, I. «The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes».